Problema: che forma ha la curva generatrice del contorno di un cono, in un'immagine prospettica?

Supponiamo (senza perdita di generalità) che la base del cono sia orizzontale.  Il cono è a base circolare ed ha asse perpendicolare alla base.   Sia C la circonferenza base del cono, V il vertice (apice).

La curva generatrice del contorno G è indipendente dalla posizione e orientamento del piano immagine, e dipende esclusivamente dalla posizione del centro ottico O.  G è una curva 3D nella scena, la sua proiezione g è una curva bidimensionale sull'immagine.  Ovviamente, g dipende anche dalla posizione e orientamento del piano immagine.

Tutti i punti di G stanno sulla superficie del cono.

Due casi banali:

• se O si trova all'interno del prolungamento del cono, sotto la base;
• se O si trova all'interno del prolungamento del cono (un cono rovesciato) sopra il vertice.

In questi casi, G equivale a C, e il contorno g è un'ellisse, proiezione di c.  D'ora in poi ignoreremo queste situazioni.

Nel caso generale, G è formata dall'unione di tre oggetti:

• Un arco della circonferenza C.  Chiamiamo P₁ e P₂ gli estremi di questo arco, e θ  l'angolo corrisponedente.
• Il segmento (rettilineo) P₁V
• Il segmento (rettilineo) P₂V

Si tratta di una curva chiusa nello spazio.

Il contorno g nell'immagine è la proiezione di G;  è formato dall'unione delle proiezioni dei tre oggetti considerati; si tratta quindi di un arco di ellisse e due segmenti rettilinei.

Estensione: quanto è ampio l'arco di C appartenente a G? Più o meno di 180°?

L'arco della circonferenza appartenente a C può essere più o meno ampio a seconda della posizione del centro ottico.  Intuitivamente:

• Se O si trova sul piano della base, θ ≤ 180°; uguale solo quando O è all'infinito.  Questo perchè P₁ e P₂ sono punti di tangenza tra C e una retta passante per O.
• Se O si trova "sufficientemente in alto", θ può essere maggiore di 180°.  Non è immediatamente intuitivo ma si verifica facilmente osservando un cono reale.

La demarcazione tra le due situazioni è data dalla configurazione in cui O si trova alla stessa altezza di V.  In questo caso, θ = 180°.

Per convincersene, basta considerare i due piani appoggiati alla superficie laterale del cono e passanti per O.  Questi due piani (chiamiamoli T₁ e T₂) sono tangenti a C in P₁ e P₂ rispettivamente.  Inoltre, l'intersezione tra T₁ e T₂ è una linea orizzontale, contenente sia O che V -- la direzione di questa linea è una direzione in comune tra i due piani.  L'intersezione tra T₁ e il piano della base è una retta parallela all'intersezione tra T₂ e il piano della base.  Tali rette sono tangenti a C in P₁ e P₂ rispettivamente.  Quindi P₁ e P₂ sono diametralmente opposti, e θ è 180°.

Riassumendo, se O sta tra il piano della base del cono e una quota pari a quella di V, θ ≤ 180°;  se O sta alla quota di V, θ = 180°;  se O sta più in alto, θ > 180°.

Nota: se O è alla stessa quota di V, i segmenti rettilinei del contorno nell'immagine, proiezione di P₁V e P₂V, possono anche essere interpretati come le proiezioni delle linee tangenti a C in P₁ e in P₂, rispettivamente.  Essendo queste due linee parallele, l'intesezione delle loro immagini è il punto di fuga della loro direzione.  In altre parole, l'immagine del vertice è il punto di fuga di una direzione parallela al piano orizzontale.

Nota: I risultati ottenuti valgono anche nel caso di cono generalizzato, a base ellittica, e avente come vertice un punto qualsiasi nello spazio 3D.